“空間變換？”
“對，你是學計算機的，不是學數學的，所以不要去死扣教材上的概念。
聽起來你們教授上課只是教你們如何計算而已。達到這個教程目標的確只需要背公式就足夠了。”
喬源解釋道。
“然後呢？”夏汐月虛心的繼續問道。
“把矩陣當成了空間變換就很好理解特徵值了。丟一個向量給矩陣，然後就能得出一個新的向量。
比如現在有一個2x2的矩陣a，你隨便拿一個向量乘它，就會得到一個新的向量。這一過程中它們的幾何意義會發生一些改變。
在座標軸上的看來就是向量的方向變了。當然這是最簡單的一種情況，但絕大多數的情況下，透過矩陣乘法方向都會發生變化。
特徵值就代表那些特殊情況。算的多了你就會發現有些特殊的向量乘了矩陣之後，它們的方向並沒有改變。
它們在座標軸上的指向依然跟在變換之前一樣，區別只是這條線被拉長或者縮短了。
這一類經過矩陣變化但方向不變的向量就是特徵向量，這些向量被拉長或者縮短的倍數就是你無法理解的特徵值。
把這個理解套進你已經背下來的公式，也就是av等於λv。答案就很明顯了。
a代表矩陣，v則代表向量，也就是矩陣a對向量v做了一次變換，等號代表線兩端指向的方向不變，但是長度變成了之前的入倍。
更深入的理解，你會發現入的值決定了變換之後的結果。比如入大於1代表變長了，小於1但大於零，代表縮短了。
如果小於0則代表不但被拉伸了，還被反射。如果等於零，則代表著降維，從線變成了點。也是課本上說的壓縮到了零向量。
夏汐月恍然大悟的點起頭來。
“所以你們研究數學就是這樣聯想的？”
“也不全是，會更復雜。”
喬源耐心的答道：“因為推廣到一些複雜情況，這些東西會很抽象。比如無限維空間中的運算元。
舉個例子，一個函式空間，向量是一個函式，空間由無限多個基函式張成。
運算元也已經不是矩陣，而是對函式的操作。這就更自由了。代價就是已經沒法用視覺化來做比喻。
你們計算機可能不需要學數學物理，你接觸一下就知道。比如波函式，給你一個動量運算元操作，來求特徵值。
而且到了無限維，運算元還可能是不連續的。比如微分運算元作用在函式上，函式一個微小跳躍，導數就會爆炸。
這可能需要等你接觸到狄利克雷函式的導數處處不連續就能理解了。所以很多數學文章裡會去定義弱收斂，強收斂，否則就無法保證解的存在性。
所以象你問的這些簡單定義我還能用比較直觀的幾何方式給你解釋。但推廣到無限維之後，我能想到，但沒法用語言去解釋。
我打個比方啊，傅立葉變換會將時域函式旋轉到頻域，這個操作我腦子裡的函式構成都被徹底改變了，而且是非常複雜的變化，我不知道該怎麼去描述。”
夏汐月仔細思索了半晌，才開口說道：“你的意思是在時域函式做傅立葉變換的時候腦子裡都能產生畫面感？”
喬源點了點頭。皺著眉頭思索了片刻才說道：“一定要做個描述的話，就好象原本是一團不同顏色的亂麻糾纏在一起。
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