第139章 迷宮
他的手動的飛快，空白的草稿紙被逐漸填滿。
定義3 (孿生條件)：兩個整數m和n是孿生素數對，當且僅當：
1. φ(m)和φ(n)都是X中的“算術奇點”，即對應素數的像；
2. d(φ(m), φ(n)) = 2；
其中2是所有p進分量差異的加權和。
如果m和n是孿生素數對，比如3和5，那麼對於大多數素數p，|3—5|_p = | —2 |_p。
對於p≠2，|—2|_p = 1，因為—2不被p整除。
對於p=2，| —2 |_2 = 1/2，因為2整除—2一次。
所以d(φ(3), φ(5)) = Σ ω(p) · 1 (對p≠2) + ω(2) · (1/2)。
因為Σ ω(p)發散，所以這個和發散。
所以3和5在加權度量下的距離是無窮大？
肖宿皺起眉頭。
不對，這樣定義有問題。
他意識到，如果直接用原始定義，任何兩個不同整數的距離都是無窮大，因為對無窮多個p，|m—n|_p = 1。
加權和自然發散。
需要修改。
也許不是所有p都計入？
也許只有那些對“區分”m和n有貢獻的p才計入？
肖宿托腮思考了一會兒，他覺得定義2還不夠完備。
定義2在實際計算中，應該只考慮那些|m—n|_p ≠ 0的p，即p不整除m—n。
對於這些p，|m—n|_p = 1。
所以d(φ(m), φ(n))正比於這些p的權重和。
當m—n固定時，這個和發散，所以需要正規化。
減去發散項，留下有限部分。
肖宿自己曾經在《數學發明》那篇論文中用過類似的技巧：對於素數計數函式的誤差項，減去主項後，剩餘部分可以用一個收斂的級數表示。
在這裡也可以用同樣的方法。
定義2“ (正規化加權度量)：定義正規化距離d?(φ(m), φ(n)) = lim_{X→∞} 【 Σ_{p≤X, p?(m—n)} ω(p) Σ_{p≤X} ω(p)/p 】
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