簡單來說，就是在幾何的世界裡，找到一種類似於傅立葉分析中波與頻譜之間的對應關係。
在傅立葉分析中，我們可以將一個複雜的波分解成一系列簡單的正弦波和餘弦波的疊加，這些正弦波和餘弦波的頻率，就構成了波的頻譜。
而在幾何朗蘭茲猜想中。
我們試圖找到一種類似的方式，將黎曼曲面上的某些幾何物件與數論中的某些物件聯絡起來……”
高臺之下。
普林斯頓大學數學教授安德魯·懷爾斯，安靜的聽著。
他先前鑽研過幾何朗蘭茲猜想。
該猜想的“頻譜”，即數論中的物件，相對來說更更容易理解和研究。
但是對於“波”側，也就是黎曼曲面上的特徵層，其性質和結構非常複雜，一直困擾著數學界。
特徵層是一種非常抽象的數學物件。
它的定義和性質，涉及到代數幾何、拓撲學等多個領域的高深數學理論，使得數學界對於特徵層的研究進展非常緩慢。
只聽莊航開口道：“想要證明幾何朗蘭茲猜想的核心思想，是找到一個等價關係，將代數曲線X 上的G - 叢（代數空間 G 上的纖維叢，其纖維是 G 的副本）的 D - 模（某些空間上的微分方程的解）範疇與朗蘭茲對偶群^ 的區域性系統的 Ind-Coh 範疇（包含了所有 Ind - 上同調物件）聯絡起來。
我提出一個名為‘基本圖’的核心框架。
該框架，就像是一個宏大的藍圖，構想了一個能把標籤空間和sheaf 空間串聯起來的幾何機器。
這個機器的關鍵，是一個叫Poincaré sheaf（龐加萊層）的數學工具，它被認為是一個可以‘吸收’ 所有eigensheaf 的容器，就像白光包含所有顏色一樣，Poincaré sheaf 應該包含所有可能的 eigensheaf 。
簡單來說。
Poincaré sheaf，就是一個萬能轉換器，可以在不同數學領域之間進行轉換，把複雜的數學結構分解成簡單的基本元素，然後再重新組合成其他形式的數學結構……”
……
接下來的時間裡。
莊航詳細講解自己的論文。
他分成五個步驟，來證明幾何朗蘭茲猜想。
第一步，是關於函子的構成，需要在特徵為零的情況下，從自守到譜方向構造幾何朗蘭茲函子LG並證明其等價性，即能夠在兩個範疇之間建立一一對應的關係。
第二步，是Kac-ody定位與全域性的相互作用，證明了該函子在特定條件下確實是一個等價性函子。
第三步，是將已知的等價性結果擴充套件到了更一般的情況，而且還透過Kac-ody區域性化技術，為理解幾何朗蘭茲函子與常數項函子的相容性提供了關鍵的洞見。
第四步，證明一個關鍵的定理“Aidexterity定理”，該定理表明，LG-cusp（可以視為LG在一個特定的、更小的範疇上的行為）的左伴隨和右伴隨是同構的。
第五步，利用這個結構，將幾何朗蘭茲猜想，推廣至一般情況，正式證明幾何朗蘭茲猜想。
整整120分鐘的時間。
莊航講解完長達800頁的論文，清晰直觀的講述證明過程。
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