凌凡的“數學築基工程”進行到平面幾何部分。這是初中數學的另一大基石，也是許多學生頭疼的領域，充斥著各種看都看不出來的輔助線和靈光一閃的奇妙思路。
對於凌凡這種自認“腦洞大”但“邏輯弱”的學渣來說，幾何曾經是他的噩夢——那些圖形在他眼裡不是智慧的結晶，而是一堆莫名其妙線條的堆砌。
但現在，手握“錯題五步法”和“迴歸基礎”兩大法寶，他決定換一種方式來叩擊幾何之門。
這天，他遇到了一道初中幾何的經典題，難度中等偏上，正好卡在他的“最近發展區”——
【題目】：如圖，在△ABC中，AB = AC，∠BAC = 120°。D是BC邊上的點，且BD = 2DC。求證：AD ⊥ BC。
（他手動畫了個草圖：一個頂角120°的等腰三角形，底邊BC上有一個點D，滿足BD是DC的兩倍。）
凌凡盯著題目看了五分鐘，大腦一片空白。證明垂直？通常需要證角度相等或勾股定理逆定理。但在這個圖形裡，角度亂七八糟，線段長度也不知道，從哪裡下手？
若是以前，他最多掙扎十分鐘，然後就會放棄，直接去看答案，哦一聲，感嘆一下“原來要這麼作輔助線”，然後……就沒有然後了。
但這一次，他沒有。
他想起陳景先生說過：“一道好題，就像一顆鑽石，有很多個切割面，從不同的角度去看，會閃耀出不同的光芒。只滿足於一種解法，是買櫝還珠。”
而且，他最近夯實基礎，特別是對全等三角形、相似三角形、勾股定理、三角函式（正弦餘弦定理）有了更深入的理解，隱隱覺得這些工具似乎都能用上。
一個大膽的、甚至有些“瘋狂”的念頭在他腦中誕生：
“我要用盡可能多的方法來解決這道題！看看這顆‘鑽石’到底有多少個切面！”
這個想法讓他興奮起來，彷彿不是在做題，而是在策劃一場有趣的思維探險。
他拿出最大的草稿紙，在中間畫下標準的圖形，標好所有已知條件。然後，像開闢戰場一樣，在草稿紙的四周劃出幾塊區域，分別寫上：
【解法一：面積法】 【解法二：勾股定理法】 【解法三：相似三角形法】 【解法四：座標法】 【解法五：三角函式法】
他要同時向五個方向發起進攻！
戰役一：面積法（最直觀的嘗試） 思路：如果AD⊥BC，那麼AD就是△ABC在BC邊上的高。或許可以從面積關係入手？ 用餘弦定理或作高，他用了作高，順便複習了含30°的直角三角形三邊關係。 但如何證明這個比例？需要知道S△ABD和S△ADC的面積關係。 他連線A和BC中點？不對… 他嘗試用共角三角形面積比…△ABD和△ABC共享∠B？不對，底邊不同… 卡住了。面積法似乎需要更巧妙的構造，他暫時擱置。（解法一：暫時受阻）
戰役二：勾股定理法（最樸素的暴力計算） 思路：要證AD⊥BC，只需在△ABD和△ADC中，證明AD2+ BD2 = AB2 和 AD2 + DC2 = AC2？不對，這是直角三角形判定，但需要的是AD2 + 某個值？ 更直接：如果AD⊥BC，垂足為H，那麼只需證明AD2= AH2 + DH2？這又繞回去了。 正確的勾股定理應用，應該是分別表示出AD、AB、BD等的長度，然後看是否存在平方關係。 他設DC= x, 則BD = 2x, BC = 3x。 由AB=AC，∠A=120°，利用餘弦定理可求出AB2= (3x)2 + ? 不對，餘弦定理是針對△ABC的邊BC… 他發現自己對勾股定理和餘弦定理的應用場景有些混淆，計算也變得複雜。（解法二：陷入計算泥潭，暫時放棄）
戰役三：相似三角形法（需要輔助線的靈光一閃） 思路：證明垂直，常常可以透過證明角相等來實現。有沒有相似三角形能推出90°角？ 他仔細觀察圖形。AB=AC，等腰三角形。∠BAC=120°，那麼底角∠ABC=∠ACB=30°。 D是BC上一點，BD=2DC。 他嘗試過D點作DE平行於AC交AB於E？或者作DF平行於AB交AC於F？ 或者，更常見的，過A點作BC的垂線？但這就是直接去證垂直了，迴圈論證。 他需要構造出包含AD和BC的相似形。 苦思冥想…沒有頭緒。（解法三：缺乏靈感，擱淺）
連續三個方向受挫！ 若是以前，凌凡早就崩潰放棄了。 但今天不同，他有五個戰場！一個方向不行，立刻切換另一個！這種多線探索的方式，反而減輕了單一失敗帶來的挫敗感。
戰役四：座標法（降維打擊，無腦計算） 思路：這是他的“殺手鐧”，也是他最近自學向量和座標幾何後想嘗試的方法。把幾何問題代數化！ 他立刻建立平面直角座標系： 以B點為原點(0,0)，BC邊放在x軸上，C點就在(3x,0) （因為設DC=x, BD=2x, BC=3x）。 現在需要確定A點座標。因為AB=AC，且∠A=120°。 嗯？！不對！點積不為零！ 凌凡心裡一驚，差點以為自己的築基工程白費了。但他迅速冷靜檢查。 發現錯誤：定比分點公式用錯了！BD:DC = 2:1，意思是B-＞D-＞C……。 正確公式……這個沒錯。 那是哪裡錯了？啊！垂直的判斷錯了！ 要證AD⊥BC，應該是AD向量· BC向量 = 0。 而……確實不為零！ 凌凡懵了。難道題目是錯的？不可能啊。 他再次審視題目和圖形。突然，他猛地一拍腦袋！ “蠢貨！AD⊥BC，垂足是D嗎？！我默認了D是垂足，然後用座標法去證，這本身就是迴圈論證啊！我要證的是AD⊥BC，垂足未必是D啊！我應該設垂足為H，然後證H和D重合！” 座標法的正確思路：是先求出BC的方程（y=0），然後求A到BC的垂足H的座標，再證明H和D是同一個點！ BC是x軸，A(1.5x,(√3 / 2)x)到x軸的垂足H座標顯然是(1.5x, 0)。 而D點座標是(2x,0)！ 1.5x≠ 2x ！ 所以AD根本不垂直於BC？! 題目是錯的？! 凌凡徹底凌亂了。他感覺自己發現了一個驚天大秘密。
（就在他幾乎要推翻題目時，戰役五的思維悄然啟動）
戰役五：三角函式法（另闢蹊徑） 思路：既然有角度和邊長關係，或許可以用正弦定理或餘弦定理在△ABD和△ADC中計算∠ADB或∠ADC的餘弦值，看是否為0（90°）。 在△ABD中： 已知：AB= a (設), ∠ABD = 30° (因為等腰三角形底角)，BD = 2x (設DC=x)。 需要AD？或∠BAD？ 由正弦定理：AB/ sin∠ADB = BD / sin∠BAD = AD / sin30° 資訊不足。 在△ADC中類似。 或許…可以考慮∠ADB和∠ADC互補？因為B,D,C共線……兩者並不相等？但cos30°是定值，這要求BD/AB = DC/AC，即BD/DC = AB/AC = 1，但這與BD=2DC矛盾！ ！！！ 真相大白！
凌凡看著這最終推導，目瞪口呆。
這道題……根本就是錯的！ 或者更準確地說，在AB=AC且∠A=120°的前提下，如果BD=2DC，那麼AD絕不可能垂直於BC！
他之前的五種解法探索，前三種的受阻和第四種座標法計算出的矛盾，並非因為他笨或方法錯，而是因為題目本身的條件就是矛盾的！第五種三角函式法從邏輯上直接證明了其不可能性。
一場轟轟烈烈的五法探索，最終竟得出這樣一個戲劇性的結果！
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