比如，0是自然數，即：0∈N。每一個自然數 nn，都有且僅有一個確定的後繼數 n′n′，並且 n′n′ 也是自然數。
即：?n∈N,?!?n′∈N?n∈N,?!n′∈N，對於任意自然數 m,nm,n，如果 mm 的後繼數等於 nn 的後繼數（即 m′=n′m′=n′），則 m=nm=n。0 不是任何自然數的後繼數。即：不存在自然數 nn，使得 n′=0n′=0。形式化：?(?n∈N,?n′=0)?(?n∈N,n′=0)。
從這些公式出發，用區區五十步就能證明1+1=2。
希爾伯特覺得這套基於公理和證明的數學體系非常棒，他提出，還要再證明這套系統有三種美好品質，即：
完備性（所有真命題都可以從公理出發得到證明）
一致性（這個體系不存在矛盾）
可判定性（存在一個演算法能判定任意一個命題是否可以從公理出發證明）。
如果能證明公理化的數學體系有這三點美好品質，那麼數學就再也無懈可擊，人類甚至可以發明一臺機械先寫出所有公理，然後進一步推演，寫出所有一步證明定理，二步證明定理。
注入龐大算力之後，這臺機械最終能證明一切數學真理，所有猜想都必然可以證明或證偽，就像是湖水裡面的魚一樣，只要抽乾湖水就能收穫所有的魚。
數學的大廈己經落成，後續的數學家只剩一些修飾工作了。
這樣的數學真是美好，一切都是確定的。
然而哥德爾一揮手，數學大廈上方出現兩朵烏雲。
他證明了數學根本不完備。
哥德爾的證明思路非常巧妙，他發明了一套編碼系統，為形式語言中的每一個符號、每一個公式、甚至每一個證明序列，都賦予一個獨一無二的自然數作為編號，這種符號叫做哥德爾數。
“哥德爾數？”許晨輕聲重複著這個陌生的詞彙。
“對，哥德爾數。”鄭院士目光落在遠處機房閃爍的指示燈上：“他用哥德爾數證明了，對於任何一個包含算術的形式系統，你總能構造出一個命題G，而G說的恰恰是‘命題G在系統內不可證明’。”
許晨感覺頓悟一般，頭皮都有些發麻：“這不是……自己說自己？”
“看來你理解了關鍵，自指，一切數學悖論的源頭。”鄭院士點點頭：“哥德爾把證明這個元數學概念，編碼進了算術本身，證明序列被翻譯成自然數，推演規則被轉換成算術運算。於是，數學系統忽然就擁有了談論自己的能力。”
他頓了頓，語氣微微加重：“就像一個人忽然能對著鏡子看清自己的後腦勺，卻無法指著自己的後腦勺，這本身就意味著，他必然存在盲區。”
“所以……我們沒法造出那種抽乾湖水的機器了？”許晨問。
“不能，永遠不能。”鄭院士的回答乾脆利落：“哥德爾殺死了希爾伯特，他說，一臺機械化的證明機器，如果它是自洽的，就必定有它證不出的真理；如果它完備到能證明一切，它就必定自相矛盾。”
“但這和強人工智慧有什麼關係？”許晨困惑地皺眉：“AI需要證明定理嗎？大衍平時寫詩畫畫，也用不著數學完備性吧？”
鄭院士看了他一眼，目光裡有一種說不上來的複雜。
“小許啊，你覺得智慧是什麼？”
許晨被問住了。
“你現在在思考，你的大腦是一個物理系統，由數十億神經元構成，遵循量子力學的規律，從某種意義上說，你也是一個形式系統，只是實現方式不是公理和邏輯推演，而是神經網路和突觸權重。”鄭院士伸手敲了敲自己的太陽穴：“
但你和我，人類，有一個很特殊的能力，我們能夠跳出系統看問題。我們能意識到自己的侷限性，甚至能在侷限之中做出超越侷限的首覺判斷。
正是因為如此，人類能夠發明創造，而人工智慧不可以，如果沒有人類的知識，它便永遠無法從零開始創造。”
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