林深又舉手。張老師看了他一眼。“你來。”
林深站起來。“對於任意ε＞0，取N=1/ε。當n＞N時，假設n，則|1/1/n|≤1/n＜ε。所以數列滿足柯西條件，因此收斂。”
張老師點點頭。“很好。但這個證明有一個問題。”他看著林深，“你用了n的假設，但柯西準則要求所有n，不需要大小關係。你的證明完整嗎？”
林深想了想。“不完整。應該分情況討論。或者直接用1/n+1/2/n。”
張老師笑了一下。“對。分情況討論，或者用對稱性。細節很重要。”
他轉過身，繼續往下講。林深坐下，在筆記本上把那道題重新寫了一遍，把分情況討論的步驟補上。旁邊的男生側過頭看了一眼他的筆記，又轉回去了。
第二節課是高等代數。李老師講線性空間的定義。
“一個非空集合V，如果定義了加法和數乘兩種運算，並且滿足八條公理，就稱為線性空間。”李老師把八條公理一條一條寫在黑板上。加法交換律、結合律、零元存在、負元存在、數乘分配律……
林深聽著，腦子裡想的是矩陣空間的例子。李老師講到數乘分配律的時候，舉了個例子。
“設V是全體實數的集合，定義加法為普通加法，數乘為λ⊙x=λ2x。問V是不是實數域上的線性空間？”
下面有人開始算。林深沒動筆，心算了一下。λ⊙(μ⊙x)和(λμ)⊙x不相等，第一條分配律就不滿足。李老師等了一會兒，目光掃過教室。
“林深，你說說。”
林深站起來。“不是。因為數乘不滿足結合律。λ⊙(μ⊙x)=λ2(μ2x)=λ2μ2x，而(λμ)⊙x=(λμ)2x=λ2μ2x。這個成立，所以數乘結合律沒問題。問題是分配律。λ⊙(x+y)=λ2(x+y)，λ⊙x+λ⊙y=λ2x+λ2y，這個成立。但(λ+μ)⊙x=(λ+μ)2x=λ2x+2λμx+μ2x，而λ⊙x+μ⊙x=λ2x+μ2x。兩者相差2λμx，所以不是線性空間。”
李老師聽完，沒點評，轉過身在黑板上把剛才那個例子擦掉。“所以不是隨便定義運算就能構成線性空間。八條公理，缺一條都不行。”
下課鈴響了。李老師收起講義，走出教室。林深把筆記本合上，站起來往外走。走廊裡人多，有人趕著去下一節課，有人站在窗邊聊天。他穿過人群，下樓，往數學系老樓走。
楊小京的辦公室在三樓。林深敲門的時候，裡面傳出一聲“進”。他推開門，楊小京坐在辦公桌後面，面前攤著一本英文期刊，手裡拿著紅筆。
“來了？”楊小京抬起頭。
林深在他對面坐下。“楊老師，上週您讓我看的那篇論文，看完了。”
楊小京把期刊合上。“有什麼想法？”
林深從書包裡抽出幾張紙，遞過去。“他那個證明思路有點繞。我試著用傅立葉變換重新推了一遍，感覺更直接。”
楊小京接過來，一頁一頁翻。辦公室很安靜，只有翻紙的聲音。
林深坐在對面，沒說話。窗外有鳥叫，樓下有人在說話，聲音模模糊糊的。
楊小京翻到第三頁，停下來，盯著那幾行推導看了一會兒。“這裡，你的積分換序，條件夠嗎？”
林深湊過去看了一眼。“我驗證了。函式在區間上絕對可積，Fubini定理適用。驗證過程寫在下一頁。”
楊小京翻過去，看了一會兒，點點頭。“行，這個思路對。但你的表述不夠嚴謹，回去再改改。”他把那幾張紙放在桌上，看著林深。“你的數學水平，現在跟博士生不差什麼了。”
林深沒接話。
