凌凡福至心靈,脫口而出:“所以定點不在水平線上!但……也許它的橫座標是固定的?我們還需要取其他特殊的P點!”
“對。”林天似乎對凌凡能跟上思路有點意外,繼續道:“取一個能讓不水平的點。比如,取P為右端點?不行,P異於A,B,右端點就是B(2,0),不行。取一個……讓AP或BP斜率不存在的點?橢圓上哪點……”
林天沉吟一秒,忽然眼睛微亮:“取P為(0, y0)我們已經取過了。取P為(x0, 0)?但x軸上只有A、B兩點……那就取一個無限接近B點的點?計算麻煩。”
這時,凌凡突然插話,聲音帶著一絲興奮:“或者!我們取一個能讓計算儘可能簡單的點!比如……比如取一個讓P點座標數字簡單的點!橢圓方程x2/4 + y2/3=1,那就讓y2/3=1/4,y=±√3/2!或者讓x2/4=1/4, x=±1!”
他被林天的特殊取值法激發了靈感。
林天挑了挑眉,似乎覺得可行:“可以,試試x0=1。” 由橢圓方程:1/4+ y02/3 = 1 => y02/3 = 3/4 => y02 = 9/4 => y0 = ±3/2 取P(1, 3/2)【第一象限】
計算: AP方程:過A(-2,0)和P(1,3/2),斜率= (3/2 - 0) / (1 - (-2)) = (3/2)/3 = 1/2 方程:y = (1/2)(x + 2) 求x=4代入,y_= (1/2)(4+2) = 3 → 4, 3) BP方程:過B(2,0)和P(1,3/2),斜率= (3/2 - 0) / (1 - 2) = (3/2)/(-1) = -3/2 方程:y = (-3/2)(x - 2) 求N:x=-4代入,y_N = (-3/2)(-4-2) = (-3/2)*(-6) = 9 → N(-4, 9)
現在,我們有了第三條:過點4,3)和N(-4,9)。 求這條直線的方程: 斜率k= (9-3) / (-4-4) = 6 / (-8) = -3/4 方程:用點4,3),y - 3 = (-3/4)(x - 4) 化簡:y = (-3/4)x + 3 + 3 => y = (-3/4)x + 6
現在,我們有三條直線: L1:y = 3√3 (當P為上頂點時) L2:y = -3√3 (當P為下頂點時) L3:y = (-3/4)x + 6 (當P為(1, 3/2)時)
如果恆過定點,那麼這個定點必須同時在L1、L2、L3上?但L1和L2是兩條平行水平線,根本沒有交點。這說明什麼?
凌凡和林天同時陷入了沉默。
突然,林天輕輕“嘖”了一聲,搖了搖頭:“不對。我搞錯了。”
凌凡看向他。
“直線是隨著P點變化而變化的,”林天冷靜地分析,“它並不是同一條直線。所謂‘恆過定點’,是指每一條這樣的動直線(對應每一個P點),都經過那一個固定的點。並不意味著所有動直線都交於同一點(那樣就成了線束了,但這裡顯然不是)。所以,我們不能讓L1、L2、L3求公共交點。”
凌凡頓時明白了。確實,L1和L2平行,它們不可能有交點,但這並不妨礙它們各自與那個定點相交(如果存在的話),只是那個定點的縱座標對L1來說是3√3,對L2來說是-3√3,這顯然矛盾。
“所以,”凌凡思維飛速轉動,“‘特殊取點’法在這裡行不通?因為取上、下頂點得到的是兩條平行線,它們暗示了定點可能不存在?或者……我的計算錯了?”
林天也皺緊了眉頭,再次檢查上、下頂點的計算。“計算沒錯。”他確認道。
一時間,兩人都卡住了。凌凡那繁瑣但正統的推導似乎走到了死衚衕,林天這取巧的“特殊值”法也遭遇了邏輯困境。
晚自習結束的鈴聲準時響起,打斷了他們的僵局。
同學們開始喧鬧著收拾東西。
林天直起身,把鉛筆扔回凌凡的筆袋,臉上又恢復了那副懶洋洋的樣子,彷彿剛才那片刻的專注和銳利從未存在過。“嘖,這題有點意思。”他丟下這麼一句模稜兩可的話,揣著兜晃晃悠悠地走了。
留下凌凡一個人,對著草稿紙上那三種不同形態的直線方程,以及自己那未完成的、看似“麻煩”的推導過程,若有所思。
林天的方法看似巧妙,卻似乎引入了新的問題。而自己那“麻煩”的方法,雖然計算量大,卻一步步腳踏實地,或許才是通往正確答案的獨木橋。
他並沒有因為林天的質疑而自我否定,反而生出一種更強的信念: sotis, the seengly cuerso way is the only way. (有時候,看似麻煩的路,才是唯一的路。)
他小心翼翼地將草稿紙收好,包括林天寫下的部分。
這場短暫的交鋒,沒有勝敗,卻像一塊磨刀石,讓凌凡的思維變得更加銳利。他看到了另一種截然不同的思維風格——天才的、試圖尋找捷徑的、充滿靈性的風格。
但也更堅定了自己的道路——勤奮的、嚴謹的、一步一個腳印的、屬於逆襲者的風格。
他知道,這道題,他必須用自己的方法,走下去。
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