寒假閉關的時光枯燥卻充實，凌凡感覺自已的物理知識體系日益堅固，對能量、動量這些新觀念的理解也愈發深刻。然而，真正的掌握，不僅在於自已能解出多難的題，更在於能否將複雜的思路清晰地傳達給別人，並讓對方理解。這個機會，在新學期開學不久後，便由他的“開山大弟子”趙鵬送上門來。
一個課間，趙鵬哭喪著臉，拿著一本厚厚的物理練習冊蹭到凌凡旁邊，指著一道畫滿了各種力、看起來異常複雜的題目。
“凡哥！救命啊！這道題我做了一晚上，頭髮都快薅禿了！用牛頓定律解，受力分析搞得我想死，方程列了一堆，根本解不出來！”趙鵬的聲音充滿了絕望。
凌凡接過練習冊，題目如下：
【題目】：如圖，一輕彈簧一端固定於牆面，另一端與質量為物體A相連，A置於光滑水平面上。另一質量為2物體B以初速度v?衝向A。已知彈簧勁度係數為k，且B與A之間的摩擦因數為μ。假設B與A接觸後能共同運動（即不分離）。求： （1）B與A剛達到共同速度時，彈簧的壓縮量x?。 （2）AB共同體向右運動的最大距離x_x。
凌凡快速掃題。涉及碰撞（可能非彈性）、彈簧、摩擦力、共同運動……過程複雜。若用牛頓定律，需要分析A、B各自的受力（彈簧彈力、相互摩擦力）、加速度變化，這確實是場噩夢，需要列出微分方程，遠超高中範圍。
但他嘴角卻露出一絲微笑。這道題，簡直是為他量身定做的，用來展示能量觀點和動量觀點在處理複雜過程時化繁為簡的威力！
“鵬啊，”凌凡放下練習冊，看著趙鵬，“你掉進‘牛頓定律’的陷阱裡了。這道題，誰用牛頓定律誰傻。來，今天哥教你點高階的——能量觀和動量觀。”
趙鵬眼睛一亮，立刻搬來椅子，拿出小本本，一副虔誠聽講的模樣。
“首先，建模。”凌凡拿起筆，在草稿紙上畫圖，“物件：A和B。環境：光滑水平面（無摩擦）、彈簧、B和A之間有滑動摩擦。過程：B撞A，然後一起運動壓縮彈簧。”
“整個過程很複雜，但我們不關心細節。我們只關心幾個關鍵的狀態和整個系統的能量、動量變化。這就是能量和動量觀點的精髓——繞過過程細節，直擊首尾狀態。”
“先看第（1）問：求B與A剛達到共同速度時，彈簧的壓縮量x?。”凌凡圈出“剛達到共同速度”這幾個字。 “‘剛達到共同速度’意味著什麼？意味著碰撞過程剛剛結束！B和A獲得了相同的速度，但此時彈簧可能已經被壓縮了一點（x?≠0）。” “這個過程，從B接觸A開始，到兩者共速結束。在這個過程中，系統（A+B）水平方向受外力嗎？”凌凡提問。
趙鵬仔細看：“牆對彈簧的拉力？……哦！彈簧是輕彈簧，牆對彈簧的拉力是內力！水平方向無外力！所以……系統動量守恆！”
“Bingo！”凌凡讚賞地點頭，“所以，對於第（1）問，從開始到共速，我們首先用動量守恆定律！” “設共同速度為v共。” “初態動量：只有B有動量，p初 = 2* v?” （設向右為正） “末態動量：( 2 * v共 = 3v共” “列方程：2v?= 3v共 =＞ v共 = (2/3)v?”
“看，一步到位，求出了共同速度。”凌凡輕鬆地說。 “但是……這還沒完，問的是彈簧壓縮量x?啊？”趙鵬疑惑道。
“別急。”凌凡老神在在，“動量守恆只給了我們速度關係。現在，關注能量。從B接觸A開始，到兩者共速結束，這個過程能量守恆嗎？”
趙鵬思考：“有滑動摩擦力！B和A之間有相對滑動，摩擦力做功，肯定有機械能損失！所以機械能不守恆。”
“非常對！”凌凡肯定道，“所以，我們不能用機械能守恆。但是，我們可以用能量轉化和守恆的普遍觀點！或者說，用功能關係！” “在這個過程中，系統總機械能的減少量，等於摩擦力克服相對滑動所做的功（轉化為內能）。” “我們來計算一下。” “初態機械能E初：只有B的動能，(1/2)2?2 = v?2” “末態機械能E末：A和B的共同動能+ 彈簧的彈性勢能” “共同動能：(1/2)3v共)2 = (1/2)34/9 v?2) = (2/3)v?2” （代入v共=(2/3)v?） “彈簧彈性勢能：(1/2)k x?2” “所以 E末= (2/3)v?2 + (1/2)k x?2” “機械能損失：ΔE = E初 - E末 = v?2 - 【 (2/3)v?2 + (1/2)k x?2 】 = (1/3)v?2 - (1/2)k x?2” “這部分損失的能量，去哪兒了？”凌凡引導。
“變成內能了！摩擦力生熱！”趙鵬回答。 “對！而生熱 Q= f滑 * s相對”。趙鵬補充。 “f滑= μ * N。這裡N是B和A之間的正壓力。由於是水平面，N = G_B = 2？不對！”凌凡立刻糾正，“A和B之間的正壓力，對於B來說，就是A對B的支援力，大小等於B的重力2？但A在水平面上，豎直方向平衡，所以A對B的支援力確實等於B的重力2。所以f滑 = μ * 2。” “s相對是B相對於A的位移。從B接觸A，到AB共速，B相對於地面向右運動了s_B，A相對於地面也向右運動了s_A，那麼B相對於A的位移s相對= s_B - s_A。”
“s_B和s_A不一樣，求起來好像又麻煩了？”趙鵬剛燃起的希望又有點熄滅。
“所以我們換個思路！”凌凡早有準備，“我們不對系統用功能原理，而是對單個物體用動能定理！往往更簡單！” “對物體B分析！”凌凡畫出示意圖，“B受到向左的摩擦力f滑= μ2。” “從開始到共速，B的動能變化：ΔEk_B= (1/2)2v共)2 - (1/2)2?2 = 4/9 v?2) - v?2 = (-5/9)v?2” （減少） “根據動能定理，合外力對B做的功等於B動能的變化。這個合外力就是摩擦力（負功）。” “所以：- f滑 * s_B = ΔEk_B = (-5/9)v?2” （s_B是B對地的位移） “即：μ*2 * s_B = (5/9)v?2 =＞ s_B = (5 v?2) / (18 μg)”
“對物體A分析！”凌凡繼續，“A受到向右的摩擦力f滑 = μ2（作用力與反作用力）和向左的彈簧彈力F彈（是個變力，從0增大到k x?）。” “從開始到共速，A的動能變化：ΔEk_A= (1/2)v共)2 - 0 = (1/2)4/9 v?2) = (2/9)v?2” （增加） “根據動能定理，合外力對A做的功等於A動能的變化。合外力做功= 摩擦力做功（正功） + 彈力做功（負功）。” “摩擦力做功：+ f滑 * s_A = μ2 * s_A” “彈力做功：W彈 = - (1/2)k x?2” （彈力做負功，大小等於彈性勢能增加量） “所以：μ*2 * s_A - (1/2)k x?2 = ΔEk_A = (2/9)v?2” ...(1)式
“現在我們有兩個方程，但有三個未知數：s_A, s_B, x?。還差一個關係。”凌凡看著趙鵬。 趙鵬皺著眉頭，忽然靈光一閃：“彈簧的壓縮量x?！不就是A相對於牆的位移嗎？而A是從靜止開始向右運動的，所以s_A = x?對不對？因為牆沒動！”
“太對了！”凌凡用力一拍趙鵬的肩膀，“關鍵點！對於一端固定的彈簧，物體的位移就等於彈簧的形變數！ 所以 s_A = x?！”
“代入(1)式：” “μ2 * x? - (1/2)k x?2 = (2/9)v?2” ...(2)式 “而我們之前由B的動能定理得到了：s_B = (5 v?2) / (18 μg)” “我們還知道相對位移：s相對 = s_B - s_A = s_B - x?” “而摩擦力生熱 Q= f滑 * s相對 = μ2 * (s_B - x?)” “另一方面，系統機械能損失 ΔE= (1/3)v?2 - (1/2)k x?2” “根據能量守恆，ΔE= Q” “所以：(1/3)v?2 - (1/2)k x?2 = μ2 * (s_B - x?)” “將s_B代入：” “(1/3)v?2 - (1/2)k x?2 = μ2 * ( (5 v?2)/(18μg) - x? )” “化簡，兩邊同時除以” “(1/3)v?2 - (1/2)(k/ x?2 = 2μg * ( (5 v?2)/(18μg) - x? ) = (10/18)v?2 - 2μg x? = (5/9)v?2 - 2μg x?” “整理方程：” “(1/3)v?2 - (5/9)v?2 + 2μg x? - (1/2)(k/ x?2 = 0” “(-2/9)v?2 + 2μg x? - (1/2)(k/ x?2 = 0” “兩邊乘以18以消去分母：” “-4 v?2 + 36μg x? - 9 (k/ x?2 = 0” “即：9 (k/ x?2 - 36μg x? + 4 v?2 = 0” “這就是關於x?的一元二次方程，解之即可得到x?。”
雖然最後需要解方程，但整個思路完全規避了複雜的動力學過程，只用了動量守恆、動能定理和能量守恆觀念！
“哇……”趙鵬看著凌凡流暢的推導，雖然最後方程有點複雜，但每一步的物理意義都非常清晰，不禁發出驚歎，“……好像……確實比硬用牛頓定律清晰多了……”
“這就是能量和動量觀點的威力。”凌凡總結道，“對於第（2）問，求最大壓縮量x_x，就更簡單了。” “當B和A達到共同速度後，它們作為一個整體繼續壓縮彈簧。此時，系統動量守恆嗎？”凌凡問。 “不守恆！牆對彈簧有拉力，是外力！”趙鵬這次反應很快。 “對！但是，從共速點到最後壓縮到最遠點，這個過程機械能守恆嗎？” “守恆！因為AB共同體內部無相對滑動，無摩擦生熱，只有彈簧彈力做功，所以機械能守恆！” “所以，對從共速狀態（動能為(1/2)3共2，彈性勢能為(1/2)k x?2）到最大壓縮狀態（動能為0，彈性勢能為(1/2)k x_x2）這個過程，列機械能守恆方程：” “(1/2)3v共)2 + (1/2)k x?2 = (1/2)k x_x2” “代入v共= (2/3)v?，即可求解x_x。”
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