第三題是一道形式極其複雜的代數不等式,裡面包含了三個變數,六個根號。
這道題,是公認的、本次考試的“絞肉機”。
李振華教授預測,整個考場,能完整做出這道題的人,不會超過五個。
徐辰看著這道題,眉頭,終於第一次,微微皺了一下。
【嗯,有點麻煩。】
然後,他在草稿紙上,寫下了一行字:
“構造三維歐氏空間 R3中的向量……”
李振華教授看到這行字,感覺自己的心臟都漏跳了一拍。
【他……他要用空間向量法?!把一個代數不等式問題,轉化為幾何問題來解決?!】
這是一種極其高明的思想,在數學競賽史上,也曾有過傳奇。
據說,羅馬尼亞的一位天才選手,就曾用這種“升維打擊”的方法,解決了一道連命題人都覺得異常棘手的IMO難題。但這種方法,風險極大!它要求解題者有超凡的空間想象能力,能將一堆醜陋的代數式,精準地“翻譯”成向量的座標和模長。一旦構造出錯,整個解題過程就會瞬間崩塌。
只見徐辰的筆尖,在紙上飛速書寫計算。
他將不等式左邊的三個根號,分別定義為三個從原點出發的空間向量 a, b, c的模長。又將不等式右邊的項,透過巧妙的變形,與向量的點積聯絡起來。
整個問題,被他從一片混亂的代-數-泥-潭-中,硬生生地拽了出來,升維到了一個清爽、首觀的三維空間!不等式成立的條件,被他轉化為一個清晰的幾何問題:三個向量的模長之和,與它們兩兩之間夾角的關係。
最後,他利用柯西-施瓦茨不等式的向量形式,只用了一步,便完成了證明。
第三題,耗時,十五分鐘。
……
當徐辰放下筆,開始檢查試卷時,牆上的時鐘,指向了九點西十五分。
從他開始做題,到全部完成,用時,不到西十五分鐘。
而此刻,考場內的大部分考生,還在為第一道題的某個步驟而苦苦思索。
李振華教授站在原地,久久沒有動彈。
他看著那個氣定神閒的少年,看著他那張乾淨得彷彿什麼都沒發生過的答題卡,腦海中只剩下了一個念頭:
【妖孽……】
【這己經不是天才了,這是一個不折不扣的……妖孽!】
……
當徐辰工整地寫完第三道題,並從頭到尾檢查了一遍,確認沒有任何筆誤後,他看了一眼牆上的時鐘。
九點五十分。
距離考試結束,還有大約兩個半小時。
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