這句話,聽起來像是哲學,但在數學裡,它有著深刻的含義。
徐辰轉身,在白板上寫下了第一行核心公式:
r(N)=#{(p,q): p+q=N, p,q素數}
“這是我們想證明的東西——把偶數N寫成兩個素數之和的方法數,我們想證明它永遠大於零。”
“現在,每一個數學家的首覺反應,都是試圖去“估計”它——用圓法、用篩法、用解析延拓,把這個計數函式展開成一個可以控制的漸進公式。”
“但我不打算估計它。”
徐辰停頓了一下。
“我要從底層改變它的語言。”
……
拉福格慢慢地從椅子上站了起來,走近了一步。
他隱約感覺到,接下來發生的事情,會是某種他從未見過的東西。
徐辰在白板上寫下了第二行:
設 F為有理數域?上的自守形式空間,構造一個特殊的卷積運算元Φ:F× F→ C
“教授,“徐辰轉過身,“您知道朗蘭茲綱領裡,最被低估的一個工具是什麼嗎?”
拉福格沉吟:“阿代爾群上的卷積代數?”
“對。“徐辰點頭,“傳統的數論學家把阿代爾群當成一個裝備工具的“架子”,用來承載自守形式。但沒有人把它本身當成一把武器。”
“我要做的,就是把它當成武器。”
……
徐辰的筆開始在白板上快速移動,但寫下的符號十分簡潔,甚至有些令人不安的簡潔。
他構造的核心物件,是一個作用在GL(2,A_?)——也就是全域性阿代爾群的GL(2)上的卷積運算元,他將其命名為“測試卷積核“,記作Φ_N。
這個Φ_N的構造很精妙:它的區域性分量在每一個有限素數p處,被精確地“調音“成一個與素數p的算術性質完全共振的函式;而在無窮遠處,它則被設計成一個衰減迅速的高斯型核函式。
“現在,“徐辰寫下第三行,“我們計算這個運算元的跡。”
Tr(Φ_N)=∑_π m(π)π(Φ_N)
“左邊,是幾何側——它展開後,會自動計數所有滿足條件的素數對(p,q),使得p+q=N。”
“右邊,是譜側——它是所有自守表示π對這個運算元的特徵值的加權求和。”
拉福格看著這兩行公式,呼吸微微一窒。
“等一下……”
他走上前,用手指指了指“左邊“那個幾何展開,“這個幾何側,你是如何保證它精確地計數的素數對的?”
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……








