數理邏輯層面，可證性、獨立性、證明長度下界、證明論序數、一致性強度。
微分幾何層面，度量、測地線、曲率、內射半徑、同倫型。
代數複雜度層面，多項式結構、算術複雜度、代數不變數。
想要讓這三層完全互斥的數學世界嚴格同構，在數學史上沒有先例、沒有正規化、沒有標準工具。
它觸及的是數學基礎的終極問題：結構主義核心！
這個對偶本質上是在問，數學的邏輯結構是否天然就是一種幾何結構？
數學證明的難度是否本質就是幾何曲率？
不可證性是否本質就是拓撲不可達？
這是數學基礎本體論級別的問題。
深度等同於希爾伯特綱領能否實現，數學能否完全形式化，邏輯與幾何是否統一，是和七大千年難題屬於同一哲學深度。
更主要的是，它不可繞過，也無法弱化。
其他難點都可以妥協，等價關係不完美可以放寬等價，度量不完美可以用偽度量，黎曼結構不光滑可以用分段光滑，測地線不唯一可以接受多最優解，只有邏輯－幾何對偶不能妥協。
弱一點，整個理論就從提示證明本質變成隨便湊了個幾何模型。
葉清河是解決了七大難題之一的P＝NP的問題，但也只算是掃清路障，並不能首接解決它。
P＝NP只解決了一件事，證明搜尋不再指數爆炸。
P＝NP就相當於給了你一臺全能計算機，但是沒有告訴你宇宙的底層語言是幾何還是邏輯。
而後者才是終極難題。
是，葉清河在解決了P＝NP這個問題後，己經算是站在了現在這個時代數學的巔峰。
如果他願意公開這個訊息，他會立馬成為近幾十年最偉大的數學家，會被寫入數學史，記入人類科學史。
甚至說，百年以後，在華夏以及全球的一些學校裡，會有他的畫像，有他的生平介紹，有專門關於他的相關文章等等。
但是並不代表他就能解決這個數學地基級難題。
在這些天裡，他每天研究的資料，就是在往這方面深入。
一階邏輯與同倫型別論、證明論序數、切消理論、本質等價關係、遞迴論、哥德爾不完備定理延伸、命題獨立性證明，證明覆雜度與長度下界理論....
他需要徹底搞懂什麼是證明的核心邏輯結構，分清語法變換和推理本質的區別，明白邏輯不變數的嚴格數學定義，這是對偶問題的起點。
另外關於微分幾何與無限維黎曼幾何方面也需要學習很多東西，這是築牢幾何不變數框架必須要懂的。
像度量空間、拓撲空間、區域性緊緻/區域性可縮性、黎曼流形、切空間、曲率、測地線、梯度流、內射半徑、同倫群、無限維流形光滑化、幾何不變數理論這些都是要研究的。
必須吃透離散結構如何連續化為光滑幾何，理解幾何不變數的物理與數學意義，掌握從離散度量到黎曼結構的延拓方法。
還有範疇論還有函子與對偶理論，以及數學基礎結構主義本體論等等。
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