物理競賽之後，林小鏡的生活回到了正常的軌道：上課、作業、考試、偽裝。一切都在控制之中——直到她開始自學大學數學。
說“開始”不太準確。她其實從小學就在自學了——林建國書架上的《高等數學導論》《微分幾何入門》《拓撲學基礎》都是大學甚至研究生水平的教材。她一直在斷斷續續地讀，但從來沒有系統性地、一本一本地、從第一章到最後一章地“學完”過。因為小學和初中的學業佔用了她大部分時間，她只能在週末和寒暑假“擠”時間學。
但初一下學期的期末考結束後，她有了一個完整的暑假。兩個月的自由時間，沒有任何考試壓力，沒有任何偽裝需求（除了在家需要稍微注意，但比在學校輕鬆得多）。她決定利用這個暑假，系統地學完大學數學的核心課程。
她列了一個書單：
1.《數學分析》（上下冊）——這個世界的版本，相當於原世界的“微積分”但更嚴謹
2.《線性代數》——矩陣、向量空間、線性變換
3.《解析幾何》——空間中的點、線、面、曲線、曲面
4.《常微分方程》——微分方程的解法、存在唯一性定理
5.《複變函式》——複數域上的函式、柯西積分定理、留數定理
6.《實變函式》——測度論、勒貝格積分
7.《泛函分析》——函式空間、運算元理論
8.《抽象代數》——群、環、域、模
9.《拓撲學》——點集拓撲、代數拓撲初步
10.《微分幾何》——流形、張量、曲率
這些書，大部分她已經翻過前幾章了。但“翻過”不等於“學過”。她的標準是：讀完每一章後，能獨立推匯出所有定理的證明，能做完所有習題，能用自己的話複述核心概念。這個標準，她在原世界學高中數學時就用過，效果很好。在這個世界，因為她的“異常能力”，她可以更快地達到這個標準——但她需要驗證，到底有多快。
她決定用《數學分析》上冊做測試。這本書大約400頁，內容包括：實數理論、極限與連續、導數與微分、不定積分、定積分、級數。在原世界，這是大學數學系第一學年的課程，通常需要兩個學期、幾百個學時才能學完。她給自己設定的目標是：兩週內學完上冊，達到“獨立推導+做完習題”的標準。
她開始學。
第一天：實數理論。戴德金分割、確界原理、柯西收斂準則。這些概念她在原世界學過——不是系統學過，是在自學微積分的時候接觸過。但那時候她沒有深入理解“實數是什麼”這個根本問題，只是把實數當作“數軸上的點”來用。這個世界的教材從實數理論開始講，要求讀者從公理出發，嚴格地定義實數。她讀得很慢——不是因為讀不懂，而是因為每一個定理的證明她都要自己推一遍。確界原理的證明、單調有界定理的證明、區間套定理的證明、有限覆蓋定理的證明——這些定理之間的等價關係，她花了兩個小時才完全理清。
第二天：極限。數列極限、函式極限、無窮小量、無窮大量。極限的ε-δ語言是數學分析的核心，也是很多學生覺得難的地方。林小鏡在原世界學過極限——高中微積分中接觸過，但高中不要求嚴格的ε-δ證明。她需要從頭學起。她讀了一遍定義：“對於任意ε＞0，存在δ＞0，使得當0＜|x-x?|＜δ時，|f(x)-A|＜ε。”然後她在草稿紙上寫下了這個定義，在腦子裡畫了一幅圖：x?附近的一個小鄰域，對映到A附近的一個小鄰域。她理解了。然後她做了課後習題：用ε-δ語言證明lix→2) x2 = 4。她寫下了證明過程：對於任意ε＞0，取δ = n(1, ε/5)，當0＜|x-2|＜δ時，|x2-4| = |x-2||x+2| ＜ δ·(|x|+2)。因為|x-2|＜1，所以|x|＜3，|x|+2＜5，所以|x2-4| ＜ 5δ ≤ ε。證畢。她做對了。這道題，在原世界她可能需要二十分鐘才能寫出來，因為需要理解ε-δ的邏輯。現在，她用了不到五分鐘。不是因為她的數學能力變強了——她的數學能力本來就強。而是因為她的“理解速度”變快了。她看到ε-δ定義，腦子裡自動生成了幾何直觀；看到證明題，腦子裡自動生成了證明路徑。不需要“想”，不需要“試”，不需要“猶豫”。就像直覺。
第三天到第五天：導數與微分。導數的定義、求導法則、高階導數、隱函式求導、引數方程求導。這些內容她在原世界高中的微積分課程中學過，但高中的深度不如大學。大學的要求是：從極限定義出發，嚴格證明求導法則。比如乘積法則的證明：(uv) = uv + uv。她寫下了證明過程：(uv)(x) = li{h→0} 【u(x+h)v(x+h) - u(x)v(x)】/h = li{h→0} 【u(x+h)v(x+h) - u(x)v(x+h) + u(x)v(x+h) - u(x)v(x)】/h = li{h→0} v(x+h)·【u(x+h)-u(x)】/h + u(x)·【v(x+h)-v(x)】/h = v(x)u(x) + u(x)v(x)。因為v在x處連續，所以li{h→0} v(x+h) = v(x)。她寫得很流暢，不需要查書，不需要思考。這些知識已經刻在她的腦子裡了。
第六天到第八天：不定積分與定積分。原函式、換元積分法、分部積分法、黎曼積分的定義、可積的充分必要條件、微積分基本定理。黎曼積分的定義是：∫?? f(x)dx = li{||Δ||→0} Σ f(ξ?)Δx?。她讀了一遍，理解了。然後她做了課後習題：用黎曼積分的定義計算∫?1 x2 dx。她寫下了過程：將【0,1】分成n等份，Δx=1/n，取ξ?=i/n，則Σ f(ξ?)Δx? = Σ (i/n)2·(1/n) = (1/n3) Σ i2 = (1/n3)·n(n+1)(2n+1)/6 = (n+1)(2n+1)/(6n2)。當n→∞時，極限=2/6=1/3。她做對了。這道題，在原世界她可能需要十分鐘——因為要回憶平方和公式、計算極限。現在，她用了不到兩分鐘。
第九天到第十四天：級數。數項級數、正項級數、任意項級數、冪級數、泰勒級數。收斂性判別法：比較判別法、比值判別法、根值判別法、積分判別法、交錯級數判別法、絕對收斂與條件收斂。她一個接一個地學，一個接一個地證明，一個接一個地做習題。她發現自己的速度越來越快——不是線性地快，而是指數級地快。第一天，她用了八個小時才學完實數理論。第二天到第五天，每天學四到五個小時。第六天到第八天，每天學三個小時。第九天到第十四天，每天學兩個小時。不是因為後面的內容更簡單——恰恰相反，級數比實數理論更復雜。而是因為她的“學習系統”在自我最佳化。每學完一章，她的腦子就自動總結出這一章的學習方法，然後在下一章應用這個方法，效率越來越高。就像一臺機器，每完成一個任務，就自動升級一次。任務越做越快，升級越來越頻繁。
第十四天晚上，她合上了《數學分析》上冊。
她學完了。從戴德金分割到泰勒級數，從ε-δ語言到黎曼積分。400頁，14天，平均每天不到30頁。這個速度，比她在原世界自學微積分時快了將近五倍。不是五倍，是五倍。她在原世界自學微積分用了兩個多月——每天學兩三個小時，總共大約一百五十個小時。這次，她用了大約六十個小時。速度提升了2.5倍？不對。她在原世界自學的微積分是高中水平的，深度不如大學數學分析。如果她在原世界學大學數學分析，可能需要三百個小時。三百小時對六十小時，五倍。
五倍。這是她第一次用精確的數字來量化自己的“異常學習速度”。以前她只是模糊地感覺“變快了”，但沒有具體的資料。現在她有資料了：同樣的內容，她的學習速度是原世界的五倍。
這還不包括“理解深度”的提升。在原世界，她學微積分的時候，很多定理只會用，不會證。現在，她不僅會證，還能在腦子裡畫出幾何直觀，能看出不同定理之間的邏輯聯絡，能預測下一章可能會講什麼內容。這種“理解深度”，不是速度能衡量的。如果非要量化，她現在的理解深度至少是原世界的兩倍。
速度五倍，深度兩倍。綜合起來，她的學習效率是原世界的十倍。
十倍。
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