《我的系統能刷數學經驗》第16章 省賽第二場(1)

作者:見習人類觀察員·6個月前

第二場考試開始了。

拿到試卷的一瞬間,李帆就感覺到,難度確實提升了。

題目不再是那種一眼就能看出考點的常規題,而是繞了幾個彎,需要更深的思考才能剝開外殼,看到核心。

他做得比上午要慢,也更謹慎。

時間一分一秒地流逝,當他攻克了前面的所有題目,來到最後一道壓軸題時,牆上的時鐘己經指向了考試的後半段。

【題目:設 p是一個素數,f(x)= a_n * x^n +...+ a_1 * x + a_0是一個整係數多項式。證明:若 f(x)≡ 0 (mod p)在模 p意義下有 k個不同的解,則多項式 f(x)的次數 n必然大於或等於 k,或者 f(x)的所有係數 a_i都是 p的倍數。】

李帆的瞳孔微微一縮。

【數論……還是和多項式結合的抽象代數題……】

這是他知識體系裡,最薄弱的一環。

他死死地盯著題目,大腦的每一個褶皺都在瘋狂檢索。這個結論,他有印象,模糊地記得在“金鑰匙”輔導班的某本講義的角落裡見過。它像一個定理,一個被他忽略了的、不起眼的定理。

【是什麼……到底是什麼……】

他嘗試從最基礎的定義出發,構造反證法,利用有限域 Z_p的性質……草稿紙上很快寫滿了各種符號和推演。

思路在某個點上,似乎通了。

【對了!在有限域 Z_p裡,如果一個 n次多項式 f(x)有 k個根,且 n < k,那麼……】

然後呢?

然後是什麼?

李帆的筆尖懸在了半空,大腦一片空白。

額頭的汗珠變得黏膩,順著太陽穴滑落,癢癢的,讓他心煩意亂。

他越是焦急,那層水幕就越是渾濁。

“鈴——”

考試結束的鈴聲,如同一聲審判的鐘鳴,無情地宣告了他這場掙扎的終結。

他最終還是沒能想起那個關鍵的步驟——f(x)必須是 g(x)的倍式,而在次數 n < k的前提下,這隻有一種可能:f(x)在模 p意義下是零多項式,即所有係數都是 p的倍數。

一步之遙,咫尺天涯。

他放下了筆,臉上沒什麼表情,但心裡卻是一片冰涼。

……

與此同時,考場的另一端。

徐辰在看到這道題時,也愣了一下。

他同樣不知道這個定理。陳老師的資料裡,依然沒有涉及到這部分內容。

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